الانتقال من المتوسط - حديقة حيوان - ص

لقد صارعت البحث عن وظيفة بسيطة للمتوسطات المتحركة التي كان لها بعض المرونة للقيام بما احتاجه كتبت أخيرا وظيفة الزوجين تمديد واحد على أساس وظيفة مرشح الذي يعطي ريني أعلاه في التعليق ولكن الذي فاز في حد ذاته العمل لأنه سوف تشمل الملاحظة الحالية في متوسط ​​الفترة 3. متوسط ​​متوسط ​​الدالة الذي يتضمن الملاحظة الحالية. محرك متوسط ​​الدالة التي لا تتضمن الملاحظة الحالية. التبحث عن متوسط ​​المتوسط ​​المتحرك، لا يتضمن أوبس الحالي، بناء على قراءات h2 بدءا من فترات h1 باك. أوج 24 16 في 2 25.Your answer.2017 كاك إكسهانج، Inc. المتوسطات المتحركة في R. To أفضل من معرفتي، R ليس لديها وظيفة مدمجة لحساب المتوسطات المتحركة باستخدام وظيفة التصفية، ومع ذلك، يمكننا كتابة وظيفة قصيرة للمتوسطات المتحركة. يمكننا بعد ذلك استخدام وظيفة على أي بيانات البيانات ماف، أو بيانات ماف، 11 إذا أردنا تحديد عدد مختلف من نقاط البيانات من الافتراضي 5 أعمال التآمر كما من المتوقع البيانات ماف مؤامرة. بالإضافة إلى عدد من نقاط البيانات التي إلى المتوسط، يمكننا أيضا تغيير حجة الجانبين من الجانبين وظائف مرشح 2 يستخدم كلا الجانبين، الجانبين 1 يستخدم القيم الماضية فقط. الملاحة الملاحة الملاحة الملاحة. استخدام R لتحليل سلسلة الوقت. تحليل سلسلة الوقت. هذا الكتيب إيتيلز لك كيفية استخدام البرنامج الإحصائي R لتنفيذ بعض التحليلات البسيطة التي هي شائعة في تحليل البيانات سلسلة زمنية. هذا الكتيب يفترض أن القارئ لديه بعض المعرفة الأساسية من تحليل سلسلة زمنية، والتركيز الرئيسي للكتيب ليس لشرح تحليل السلاسل الزمنية، ولكن بدلا من ذلك لشرح كيفية تنفيذ هذه التحليلات باستخدام R. If كنت جديدا على تحليل سلسلة زمنية، وترغب في معرفة المزيد عن أي من المفاهيم المعروضة هنا، أود أن أوصي بشدة كتاب الجامعة المفتوحة سلسلة الوقت رمز المنتج M249 02، وهي متاحة من متجر جامعة المفتوحة. في هذا الكتيب، وسوف يتم استخدام مجموعات البيانات سلسلة زمنية التي تم التكرم أفايلا بلي من قبل روب هيندمان في كتابه سلسلة بيانات المكتبة في. إذا كنت مثل هذا الكتيب، قد ترغب أيضا في التحقق من كتيب بلدي على استخدام R للإحصاءات الطبية الحيوية، وكتيب بلدي على استخدام R لتحليل متعدد المتغيرات. الوقت قراءة سلسلة البيانات. أول شيء سوف تريد القيام به لتحليل البيانات سلسلة الوقت الخاص بك وسوف يكون لقراءتها في R، ومؤامرة سلسلة زمنية يمكنك قراءة البيانات إلى R باستخدام وظيفة المسح الضوئي، والذي يفترض أن البيانات الخاصة بك لنقاط زمنية المتعاقبة في ملف نصي بسيط مع عمود واحد. على سبيل المثال، يحتوي الملف على بيانات عن سن وفاة الملوك المتعاقبين من انكلترا، بدءا من وليام الفاتح المصدر الأصلي هيبل و مكليود، 1994.The مجموعة البيانات يشبه هذا. على الاطلاق القليلة الأولى وقد تم عرض خطوط من الملف الأسطر الثلاثة الأولى تحتوي على بعض التعليقات على البيانات، ونحن نريد أن نتجاهل هذا عندما نقرأ البيانات إلى R يمكننا استخدام هذا باستخدام المعلمة سكيب من وظيفة المسح الضوئي، والذي يحدد عدد خطوط في الجزء العلوي من الملف لتجاهل لقراءة الملف إلى R، وتجاهل الأسطر الثلاثة الأولى، ونحن type. In هذه الحالة سن الموت من 42 الملوك المتعاقبين من انكلترا قد قرأ في الملوك المتغير. بمجرد أن كنت قد قرأت البيانات سلسلة الوقت إلى R، والقادم خطوة لتخزين البيانات في كائن سلسلة زمنية في R، بحيث يمكنك استخدام R العديد من الوظائف لتحليل بيانات سلسلة الوقت لتخزين البيانات في كائن سلسلة زمنية، ونحن نستخدم الدالة تيسي في R على سبيل المثال، لتخزين البيانات في الملوك المتغير ككائن سلسلة زمنية في R، ونحن نكتب. في بعض الأحيان مجموعة بيانات سلسلة الوقت التي لديك قد تم جمعها على فترات منتظمة التي كانت أقل من سنة، على سبيل المثال، شهريا أو ربع سنوي في هذه الحالة، يمكنك تحديد عدد المرات التي تم جمع البيانات في السنة باستخدام المعلمة تردد في وظيفة تيسي لبيانات سلسلة زمنية شهرية، قمت بتعيين تردد 12، بينما لبيانات سلسلة زمنية ربع سنوية، يمكنك تعيين تردد 4.You يمكن أيضا تحديد السنة الأولى أن البيانات التي تم جمعها، وأول إنتيرف في ذلك العام باستخدام معلمة البداية في الدالة تيسي على سبيل المثال، إذا كانت نقطة البيانات الأولى تتوافق مع الربع الثاني من عام 1986، فإنك ستبدأ c c 1986،2. على سبيل المثال هو مجموعة بيانات من عدد المواليد لكل شهر في مدينة نيويورك، من يناير 1946 إلى ديسمبر 1959 التي تم جمعها في الأصل من قبل نيوتن هذه البيانات متوفرة في الملف يمكننا قراءة البيانات في R، وتخزينها ككائن سلسلة زمنية، عن طريق الكتابة. وبالمثل، يحتوي الملف على المبيعات الشهرية لمتجر تذكاري في بلدة منتجع الشاطئ في كوينزلاند، أستراليا، يناير 1987-ديسمبر 1993 البيانات الأصلية من ويلوريت و هيندمان، 1998 يمكننا قراءة البيانات إلى R عن طريق الكتابة. لوتينغ الوقت Series. Once كنت قد قرأت سلسلة زمنية في R، والخطوة التالية هي عادة لجعل مؤامرة من البيانات سلسلة الوقت، والتي يمكنك القيام به مع وظيفة في R. For سبيل المثال، لرسم سلسلة زمنية من سن الموت من 42 ملوك المتعاقبة من انكلترا، ونحن نكتب. يمكننا أن نرى من مؤامرة الوقت أن هذه السلسلة الزمنية يمكن أن يكون ديسر إبيد باستخدام نموذج إضافي، لأن التقلبات العشوائية في البيانات هي ثابتة تقريبا في الحجم مع مرور الوقت. وبالمثل، لرسم سلسلة زمنية من عدد المواليد شهريا في مدينة نيويورك، ونحن type. We يمكن أن نرى من هذه السلسلة الزمنية أنه يبدو أن هناك تباينا موسميا في عدد المواليد شهريا هناك ذروة كل صيف، وقاع كل شتاء مرة أخرى، يبدو أن هذه السلسلة الزمنية يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج مضاف، حيث أن التقلبات الموسمية ثابتة تقريبا في الحجم مع مرور الوقت ولا يبدو أن تعتمد على مستوى السلاسل الزمنية، والتقلبات العشوائية ويبدو أيضا أن تكون ثابتة تقريبا في الحجم مع مرور الوقت. وبالمثل، لرسم سلسلة زمنية من المبيعات الشهرية لمتجر للهدايا التذكارية في منتجع شاطئ بلدة في كوينزلاند، أستراليا، ونحن type. In هذه الحالة، يبدو أن نموذج المضافة ليست مناسبة لوصف هذه السلسلة الزمنية، منذ حجم التقلبات الموسمية والتقلبات العشوائية ويبدو أن تزيد مع ليف لتر من السلسلة الزمنية وهكذا، قد نحتاج إلى تحويل السلاسل الزمنية من أجل الحصول على سلسلة زمنية محولة يمكن وصفها باستخدام نموذج إضافي على سبيل المثال، يمكننا تحويل السلسلة الزمنية بحساب السجل الطبيعي للبيانات الأصلية. هنا يمكننا أن نرى أن حجم التقلبات الموسمية والتقلبات العشوائية في السلاسل الزمنية محولة السجل يبدو أن تكون ثابتة تقريبا مع مرور الوقت، ولا تعتمد على مستوى السلاسل الزمنية وهكذا، يمكن أن سلسلة زمنية سجل تحويلها ربما يمكن وصفها باستخدام نموذج مضاف. تطوير سلسلة الوقت. التخلص من سلسلة زمنية يعني فصله إلى مكوناته المكونة، والتي عادة ما تكون مكون الاتجاه ومكون غير منتظم، وإذا كان هو سلسلة زمنية موسمية، مكون موسمي. البيانات الموسمية. وتتألف السلاسل الزمنية غير الموسمية من مكون الاتجاه والمكون غير المنتظم يحلل تحليل السلاسل الزمنية محاولة فصل السلسلة الزمنية في هذه المكونات، أي، نغ المكون الاتجاه والمكون غير النظامية. لتقدير عنصر الاتجاه من سلسلة زمنية غير الموسمية التي يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة، فمن الشائع استخدام طريقة تمهيد، مثل حساب المتوسط ​​المتحرك البسيط من الوقت يمكن استخدام الدالة سما في حزمة تر R لتسلسل بيانات السلاسل الزمنية باستخدام متوسط ​​متحرك بسيط لاستخدام هذه الوظيفة، نحتاج أولا إلى تثبيت حزمة تر R للحصول على إرشادات حول كيفية تثبيت حزمة R، راجع كيفية تثبيت حزمة R بمجرد تثبيت حزمة تر R، يمكنك تحميل حزمة تر R عن طريق الكتابة. يمكنك بعد ذلك استخدام الدالة سما لتسلسل بيانات سلسلة الوقت لاستخدام الدالة سما، تحتاج إلى تحديد فترة النظام من المتوسط ​​المتحرك البسيط، باستخدام المعلمة n على سبيل المثال، لحساب متوسط ​​متحرك بسيط من الترتيب 5، نضع n 5 في الدالة سما. على سبيل المثال، كما نوقش أعلاه، فإن السلاسل الزمنية لسن الوفاة من 42 ملوك متعاقبة من إنجلترا يبدو غير موسمي، ويمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج مضاف، لأن التقلبات العشوائية في البيانات ثابتة تقريبا في الحجم مع مرور الوقت. وهكذا، يمكننا محاولة لتقدير مكون الاتجاه من هذه السلسلة الزمنية عن طريق تمهيد باستخدام المتوسط ​​المتحرك بسيط لتسهيل الوقت سلسلة باستخدام متوسط ​​متحرك بسيط من النظام 3، ومؤامرة البيانات سلسلة زمنية ممهدة، ونحن type. There لا يزال يبدو أن هناك الكثير جدا من التقلبات العشوائية في السلاسل الزمنية ممهدة باستخدام المتوسط ​​المتحرك بسيط من النظام 3 وهكذا، لتقدير اتجاه الاتجاه بشكل أكثر دقة، ونحن قد ترغب في محاولة تمهيد البيانات مع متوسط ​​متحرك بسيط من أجل أعلى هذا يأخذ قليلا من التجربة والخطأ، للعثور على كمية مناسبة من تمهيد على سبيل المثال، يمكننا أن نحاول استخدام بسيطة المتوسط ​​المتحرك للنظام 8. البيانات التي تم تمهيدها بمتوسط ​​متحرك بسيط من النظام 8 تعطي صورة أوضح لعنصر الاتجاه، ويمكننا أن نرى أن عمر وفاة الملوك الإنجليز يبدو أنه قد انخفض من حوالي 55 سنة إلى أب من أصل 38 سنة خلال عهد الملوك 20 الأولى، ثم زادت بعد ذلك إلى حوالي 73 سنة من قبل نهاية عهد الملك ال 40 في سلسلة زمنية. تجهيز الموسمية Data. A سلسلة زمنية الموسمية يتكون من الاتجاه العنصر والمكون الموسمي والعنصر غير النظامي إن تحليل السلسلة الزمنية يعني فصل السلسلة الزمنية في هذه المكونات الثلاثة، أي تقدير هذه المكونات الثلاثة. لتقدير عنصر الاتجاه والمكون الموسمية لسلسلة زمنية موسمية يمكن وصفها باستخدام مادة مضافة نموذج، يمكننا استخدام وظيفة تتحلل في R هذه الوظيفة تقدر الاتجاه، الموسمية، والمكونات غير النظامية من سلسلة زمنية يمكن وصفها باستخدام نموذج مضاف. تحلل وظيفة يعود كائن قائمة ونتيجة لذلك، حيث تقديرات يتم تخزين العنصر الموسمية، عنصر الاتجاه والمكون غير النظامية في العناصر المسماة من تلك الكائنات القائمة، ودعا الموسمية، والاتجاه، والعشوائية على التوالي. على سبيل المثال، كما مناقشة أعلاه، فإن السلاسل الزمنية لعدد المواليد شهريا في مدينة نيويورك موسمية مع ذروة كل صيف وحوض كل شتاء، ويمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج إضافي لأن التقلبات الموسمية والعشوائية تبدو ثابتة تقريبا في حجم مع مرور الوقت. لتقدير الاتجاه، الموسمية وغير النظامية مكونات هذه السلسلة الزمنية، ونحن type. The القيم المقدرة للموسمية، والاتجاه وغير النظامية يتم تخزين المكونات الآن في متغيرات بيرثستيمزيريزكومبونينتس الموسمية، بيرثستيمزيريزكومبونينتس الاتجاه و بيرثستيمزيريزكومبونينتس عشوائي على سبيل المثال، يمكننا طباعة القيم المقدرة للعنصر الموسمي عن طريق الكتابة. العناصر الموسمية المقدرة تعطى للأشهر يناير-ديسمبر، وهي نفسها لكل سنة العامل الموسمي الأكبر هو لشهر يوليو حوالي 1 46، وأدنى هو لشهر فبراير حوالي -2 08، مما يشير إلى أنه يبدو أن هناك ذروة في الولادات في يوليو وحوض في الولادات في فبراير من كل عام. يمكننا رسم الاتجاه المقدر، الموسمية، وغير المنتظمة من السلاسل الزمنية باستخدام الدالة المؤامرة، على سبيل المثال. المخطط أعلاه يبين التسلسل الزمني الأعلى الأصلي، ومكون الاتجاه المقدر الثاني من الأعلى، والمكون الموسمي المقدر الثالث من الأعلى، وقيمة العنصر غير المنتظم المقدر ونحن نرى أن مكون الاتجاه المقدر يظهر انخفاضا طفيفا من حوالي 24 في عام 1947 إلى حوالي 22 في عام 1948، تليها زيادة مطردة من ثم إلى حوالي 27 في عام 1959. تعديليا. إذا كان لديك سلسلة زمنية الموسمية التي يمكن وصفها باستخدام نموذج إضافي، يمكنك ضبط موسميا سلسلة الزمنية من خلال تقدير المكون الموسمي، وطرح المكون الموسمية المقدرة من سلسلة زمنية الأصلي يمكننا أن نفعل ذلك باستخدام تقدير العنصر الموسمية يحسبها وظيفة تتحلل. على سبيل المثال، إلى ضبط موسميا سلسلة زمنية من عدد المواليد شهريا في مدينة نيويورك، يمكننا تقدير العنصر الموسمي باستخدام تتحلل، ومن ثم طرح عنصر موسمي من سلسلة الوقت الأصلي. يمكننا ثم مؤامرة سلسلة الزمنية المعدلة موسميا باستخدام وظيفة مؤامرة، عن طريق الكتابة. يمكنك أن ترى أن الاختلاف الموسمي قد أزيلت من سلسلة زمنية المعدلة موسميا سلسلة زمنية المعدلة موسميا الآن يحتوي فقط على عنصر الاتجاه والمكون غير النظامية. المستقبلات باستخدام الأسي Smoothing. Exonential تمهيد يمكن استخدامها لجعل التنبؤات على المدى القصير لسلسلة زمنية data. Simple الأسي تجانس. إذا كان لديك سلسلة زمنية التي يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة مع مستوى ثابت و لا موسمية، يمكنك استخدام التمهيد الأسي بسيط لجعل التنبؤات على المدى القصير. تتيح طريقة التجانس الأسي بسيطة وسيلة لتقدير مستوى في نقطة الوقت الحالي يتم التحكم في تمهيد ألفا المعلمة لتقدير مستوى في الوقت الحالي بوينت قيمة ألفا تكمن بين 0 و 1 قيم ألفا التي تكون قريبة من 0 تعني أن القليل من الوزن يوضع على معظم r على سبيل المثال، يحتوي الملف على مجموع الأمطار السنوية في بوصة إلى لندن، من 1813-1912 البيانات الأصلية من هيبل وماكلويد، 1994 يمكننا قراءة البيانات إلى R ورسم ذلك عن طريق الكتابة. يمكنك انظر من المؤامرة أن هناك مستوى ثابت تقريبا يبقى متوسط ​​ثابت في حوالي 25 بوصة التقلبات العشوائية في السلاسل الزمنية يبدو أن ثابت تقريبا في الحجم مع مرور الوقت، لذلك فمن المحتمل أن تصف البيانات باستخدام نموذج المضافة وهكذا، يمكننا أن نجعل التنبؤات باستخدام التمهيد الأسي بسيطة. لجعل التنبؤات باستخدام التمهيد الأسي بسيط في R، يمكننا أن تناسب نموذج التنموية الأسي بسيط الأساليب باستخدام وظيفة هولتوينترس في R لاستخدام هولتوينترز لتمهيد الأسي بسيط، ونحن بحاجة إلى تعيين المعلمات بيتا فالس و غاما فالس في هولتوينترس يستخدم معلمات بيتا و غاما ل هولت s الأسي التمهيد، أو هولت الشتاء الشتاء الأسي التمهيد، كما هو موضح أدناه. دالة هولتوينترز ترجع متغير قائمة يحتوي على العديد من العناصر المسماة. على سبيل المثال، لاستخدام التمهيد الأسي بسيط لجعل التنبؤات لسلسلة زمنية من هطول الأمطار السنوي في لندن، ونحن type. The الإخراج من هولتوينترس يخبرنا أن القيمة المقدرة للألفا المعلمة حوالي 0 024 هذا هو قريب جدا من الصفر، تقول لنا أن التوقعات مبنية على كل من الملاحظات الأخيرة وأقل حداثة على الرغم من أن يتم وضع المزيد من الوزن إلى حد ما على الملاحظات الأخيرة. بإعداد افتراضي، هولتوينترس فقط يجعل التوقعات لنفس الفترة الزمنية التي يغطيها لدينا سلسلة زمنية الأصلي في هذه الحالة، لدينا سلسلة زمنية الأصلي شملت هطول الأمطار لندن من 1813-1912، وبالتالي فإن التوقعات هي أيضا ل 1813-1912.في المثال أعلاه، قمنا بتخزين الإخراج من وظيفة هولتوينترس في قائمة رينسيريزفوريكاست متغير يتم تخزين التنبؤات التي أدلى بها هولتوينترس في عنصر اسمه من هذه المتغير قائمة تسمى المجهزة، حتى نتمكن من الحصول على قيمها عن طريق الكتابة. يمكننا رسم الوقت الأصلي سي كريات ضد التنبؤات عن طريق الكتابة. القطعة يظهر السلاسل الزمنية الأصلية باللون الأسود، والتنبؤات كخط أحمر السلسلة الزمنية للتنبؤات أكثر سلاسة بكثير من السلاسل الزمنية للبيانات الأصلية هنا. كما هو مقياس لدقة التنبؤات، يمكننا حساب مجموع الأخطاء التربيعية لأخطاء التنبؤ في العينة، أي أخطاء التنبؤ للفترة الزمنية التي تغطيها السلاسل الزمنية الأصلية لدينا. يتم تخزين مجموع المربعات-الأخطاء في عنصر اسمه من قائمة رينسيريزوريفيكاستس المتغيرة يسمى سس، حتى نتمكن من الحصول على قيمته عن طريق الكتابة. وهذا هو، هنا مجموع من مربع-الأخطاء هو 1828 855.ومن الشائع في التمهيد الأسي بسيط لاستخدام القيمة الأولى في سلسلة زمنية كما الأولي قيمة على سبيل المثال، في السلسلة الزمنية لهطول الأمطار في لندن، القيمة الأولى هي 23 56 بوصة ل هطول الأمطار في 1813 يمكنك تحديد القيمة الأولية للمستوى في الدالة هولتوينترس باستخدام المعلمة على سبيل المثال، لجعل التنبؤات مع القيمة الأولية من المستوى المحدد إلى 23 56، ونحن نكتب. كما هو موضح أعلاه، افتراضيا هولتوينترس يجعل مجرد توقعات للفترة الزمنية التي تغطيها البيانات الأصلية، وهو 1813-1912 لسلسلة زمنية هطول الأمطار يمكننا أن نجعل التوقعات لمزيد من النقاط الزمنية من قبل باستخدام وظيفة في حزمة توقعات R لاستخدام وظيفة، ونحن بحاجة أولا إلى تثبيت حزمة R توقعات للحصول على إرشادات حول كيفية تثبيت حزمة R، انظر كيفية تثبيت حزمة R. Once قمت بتثبيت حزمة R توقعات، أنت يمكن تحميل حزمة R التنبؤ عن طريق الكتابة. عندما تستخدم وظيفة، كما الإدخال الوسيطة الأولى، يمكنك تمريرها النموذج التنبئي التي قمت بتجهيزها بالفعل باستخدام وظيفة هولتوينترس على سبيل المثال، في حالة سلسلة هطول الأمطار الوقت، قمنا بتخزين نموذج تنبؤي باستخدام هولتوينترس في متغير رينزيريزفوريكاس يمكنك تحديد عدد نقاط الوقت الإضافية التي تريد جعل التنبؤات عن طريق استخدام المعلمة h في على سبيل المثال، لجعل توقعات هطول الأمطار للسنوات 1814-1820 8 مو إعادة سنوات باستخدام نحن type. The وظيفة يعطيك توقعات لمدة عام، فاصل التنبؤ 80 للتنبؤ، و 95 الفاصل الزمني التنبؤ للتنبؤ على سبيل المثال، فإن هطول الأمطار المتوقع لعام 1920 حوالي 24 68 بوصة، مع التنبؤ 95 الفاصل الزمني من 16 24، 33 11.To مؤامرة التنبؤات التي يمكننا استخدامها وظيفة. هنا يتم رسم التوقعات لعام 1913-1920 كخط أزرق، الفاصل الزمني التنبؤ 80 كمنطقة مظللة البرتقالي، والفاصل الزمني التنبؤ 95 كما منطقة مظللة صفراء. أخطاء التوقعات تحسب على أنها القيم الملحوظة ناقص القيم المتوقعة، لكل نقطة زمنية يمكننا فقط حساب أخطاء التنبؤ للفترة الزمنية التي تغطيها لدينا سلسلة زمنية الأصلي، وهو 1813-1912 للبيانات هطول الأمطار كما المذكورة أعلاه، مقياس واحد لدقة النموذج التنبؤية هو مجموع المربعات - أخطاء سس لأخطاء التنبؤ داخل العينة. أخطاء التنبؤ داخل العينة مخزنة في بقايا العناصر المسماة للمتغير في القائمة التي يعادها إف التنبؤ لا يمكن تحسين نموذج إيف، ينبغي ألا تكون هناك علاقة بين أخطاء التنبؤ بالتنبؤات المتتالية وبعبارة أخرى، إذا كانت هناك ترابط بين أخطاء التنبؤ بالتنبؤات المتعاقبة، فمن المرجح أن تكون التنبؤات الأسية البسيطة للتلطيف يمكن تحسينها بواسطة تقنية التنبؤ الأخرى لمعرفة ما إذا كان هذا هو الحال، يمكننا الحصول على الرسم البياني لأخطاء التنبؤ في العينة للتخلف 1-20 يمكننا حساب الرسم البياني لأخطاء التنبؤ باستخدام الدالة أكف في R لتحديد الحد الأقصى للفارق الذي نريد لننظر في، ونحن نستخدم المعلمة في acf. For سبيل المثال، لحساب الرسم البياني لأخطاء التنبؤ في العينة لبيانات هطول الأمطار في لندن للتخلف 1-20، ونحن type. You يمكن أن نرى من عينة كوريلوغرام أن الارتباط الذاتي في تأخر 3 هو مجرد لمس حدود الأهمية لاختبار ما إذا كان هناك أدلة هامة على الارتباطات غير الصفر في التأخر 1-20، يمكننا تنفيذ اختبار يجونغ بوكس ​​ويمكن القيام بذلك في R باستخدام، فونكتيون الحد الأقصى للتخلف الذي نريد أن ننظر إليه يتم تحديده باستخدام معلمة التأخر في الدالة على سبيل المثال، لاختبار ما إذا كانت هناك أوتوكوريلاتيونس غير صفرية في التأخر 1-20، لأخطاء التنبؤ داخل العينة لبيانات هطول الأمطار في لندن، ونحن نوع. هنا اجتاز اختبار يجونغ بوكس ​​هو 17 4، وقيمة p هو 0 6، لذلك ليس هناك دليل ضئيل على أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في أخطاء التنبؤ في العينة في الفترات الزمنية 1-20.للتأكد من أن لا يمكن تحسين النموذج التنبئي عليه، بل هو أيضا فكرة جيدة للتحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ موزعة عادة مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر للتحقق مما إذا كان أخطاء التنبؤ لديها تباين ثابت، يمكننا أن نجعل مؤامرة زمنية للتنبؤ في العينة تظهر المؤامرة أن أخطاء التنبؤ في العينة يبدو أن لديها تباين ثابت تقريبا مع مرور الوقت، على الرغم من أن حجم التقلبات في بداية السلاسل الزمنية 1820-1830 قد تكون أقل قليلا من ذلك في التواريخ اللاحقة مثل 1840-1850 . للتحقق ما إذا كانت أخطاء التوقعات هي توزع عادة مع متوسط ​​الصفر، يمكننا رسم رسم بياني لأخطاء التنبؤ، مع منحنى عادي مضاف الذي يعني صفر ونفس الانحراف المعياري مثل توزيع أخطاء التنبؤ للقيام بذلك، يمكننا أن نحدد وظيفة روت بلوتفوريكاسترورس، أدناه. سيكون لديك لنسخ وظيفة أعلاه إلى R من أجل استخدامه يمكنك بعد ذلك استخدام بلوتفوريكاسترورس لرسم مخطط بياني مع منحنى العادي مضافين من الأخطاء التنبؤات لتوقعات هطول الأمطار. القطعة يبين أن توزيع أخطاء التنبؤ تتمحور تقريبا على صفر، ويتم توزيعها بشكل طبيعي أو أكثر، على الرغم من أنه يبدو منحرفا قليلا إلى اليمين بالمقارنة مع منحنى عادي ومع ذلك، فإن الانحراف الصحيح صغير نسبيا، ولذلك فمن المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة بمعدل صفر. وأظهر اختبار لجونغ بوكس ​​أن هناك القليل من الأدلة على وجود ارتباطات ذاتية غير صفرية في أخطاء التنبؤ داخل العينة، ويبدو أن توزيع أخطاء التنبؤ عادة ما يكون ديستري ولكن مع متوسط ​​صفر يشير هذا إلى أن طريقة التمهيد الأسي البسيط توفر نموذجا تنبؤيا كافيا لهطول الأمطار في لندن، وهو ما لا يمكن تحسينه على الأرجح. وعلاوة على ذلك، فإن الافتراضات القائلة بأن الفترتين التنبؤيتين 80 و 95 استندتا إلى أنه لا توجد ارتباطات ذاتية في أخطاء التنبؤ ، وعادة ما يتم توزيع أخطاء التنبؤ مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر على الأرجح صحيح. التماسك الأسي هولت. إذا كان لديك سلسلة زمنية يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة مع زيادة أو انخفاض الاتجاه وليس موسمية، يمكنك استخدام هولت s التمهيد الأسي لجعل التنبؤات على المدى القصير. هولت s التمهيد الأسي يقدر مستوى والانحدار في نقطة الوقت الحالي يتم التحكم تمهيد من قبل اثنين من المعلمات، ألفا، لتقدير مستوى في نقطة الوقت الحالية، وبيتا للتقدير من المنحدر b لعنصر الاتجاه في نقطة الزمن الحالية كما هو الحال مع التمهيد الأسي البسيط، فإن معلمات ألفا و b إتا لها قيم بين 0 و 1، والقيم القريبة من 0 تعني أن القليل من الوزن يوضع على الملاحظات الأخيرة عند وضع توقعات القيم المستقبلية. على سبيل المثال سلسلة زمنية يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج مضاف مع الاتجاه وليس الموسمية هو سلسلة زمنية من قطرها السنوي من التنانير النسائية s في تنحنح، من 1866 إلى 1911 البيانات متوفرة في ملف البيانات الأصلية من هيبل وماكلويد، 1994. يمكننا أن نقرأ في ورسم البيانات في R من خلال الكتابة. يمكننا أن نرى من المؤامرة التي كانت هناك زيادة في قطر تنحنح من حوالي 600 في عام 1866 إلى حوالي 1050 في عام 1880، وأنه بعد ذلك انخفض قطر تنحنح إلى حوالي 520 في عام 1911.لجعل التنبؤات، يمكننا أن نتناسب مع التنبؤ نموذج باستخدام الدالة هولتوينترس في R لاستخدام هولتوينترز ل هولت s التمهيد الأسي، ونحن بحاجة إلى تعيين المعلمة غاما فالس يتم استخدام المعلمة غاما ل هولت الشتاء الشتاء الأسي، كما هو موضح أدناه. على سبيل المثال، لاستخدام هولت s الأسي التمهيد إلى فاي نموذج تنبؤي للتنورة تنحنح القطر، ونحن type. The القيمة المقدرة ألفا هو 0 84، وبيتا هو 1 00 هذه على حد سواء عالية، تقول لنا أن كل من تقدير القيمة الحالية للمستوى، ومنحدر ب من عنصر الاتجاه، تستند في الغالب إلى ملاحظات حديثة جدا في السلاسل الزمنية وهذا يجعل الحس السليم بديهية، حيث أن مستوى المنحدر السلسلي وتغيره على حد سواء يتغير كثيرا مع مرور الوقت قيمة مجموع الأخطاء المربعة لأخطاء التنبؤ في العينة هو 16954.We يمكن رسم سلسلة الوقت الأصلي كخط أسود، مع القيم المتوقعة كخط أحمر على رأس ذلك، عن طريق الكتابة. يمكننا أن نرى من الصورة أن التنبؤات في عينة توافق بشكل جيد مع القيم الملحوظة، على الرغم من أنها تميل إلى التخلف عن القيم الملحوظة قليلا. إذا كنت ترغب في ذلك، يمكنك تحديد القيم الأولية للمستوى والمنحدر ب من مكون الاتجاه باستخدام ووسائط ل هولتوينترس وظيفة فمن الشائع لتعيين القيمة الأولية لل ليف إل إلى القيمة الأولى في السلسلة الزمنية 608 لبيانات التنانير والقيمة الأولية للمنحدر إلى القيمة الثانية مطروحا منها القيمة الأولى 9 للتنانير البيانات على سبيل المثال، لتناسب نموذج تنبئي للبيانات تنحنح تنورة باستخدام هولت s، مع القيم الأولية من 608 للمستوى و 9 للمنحدر ب من عنصر الاتجاه، ونحن نكتب. أما بالنسبة للتمهيد الأسي بسيطة، يمكننا أن نجعل التوقعات للأوقات المستقبلية التي لا تغطيها السلسلة الزمنية الأصلية باستخدام وظيفة في حزمة التوقعات على سبيل المثال، كانت بيانات سلسلة الوقت لدينا للتنورة هيمس 1866-1911، حتى نتمكن من جعل التوقعات لعام 1912 إلى 1930 19 المزيد من نقاط البيانات، ومؤامرة لهم، عن طريق الكتابة. وتظهر التوقعات كخط أزرق، مع فواصل التنبؤ 80 كمنطقة مظللة برتقالية، وفترات التنبؤ 95 كمنطقة مظللة صفراء. أما بالنسبة للتمهيد الأسي بسيط، يمكننا التحقق مما إذا كان يمكن تحسين نموذج التنبؤي من خلال التحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ في العينة تظهر غير - ze رو أوتوكوريلاتيونس أت لاغس 1-20 على سبيل المثال، بالنسبة للبيانات تنحنح تنورة، يمكننا أن نجعل من كوريلوغرام، وإجراء اختبار يجونغ بوكس، عن طريق الكتابة. هنا يظهر الرسم البياني أن الارتباط الذاتي عينة للأخطاء في عينة التنبؤ في التأخر 5 يتجاوز حدود الدلالة ومع ذلك، فإننا نتوقع واحد في 20 من أوتوكوريلاتيونس لأول عشرين الفترات تتجاوز حدود الأهمية 95 عن طريق الصدفة وحدها في الواقع، عندما نقوم بإجراء اختبار يجونغ بوكس، قيمة p هو 0 47 ، مما يشير إلى أن هناك القليل من الأدلة على عدم وجود ارتباطات ذاتية غير صفرية في أخطاء التنبؤ داخل العينة عند الفترات الزمنية 1-20. أما بالنسبة للتجانس الأسي البسيط، ينبغي لنا أيضا التحقق من أن أخطاء التنبؤ لها تباين ثابت مع مرور الوقت، وتوزع عادة مع يعني صفر يمكن أن نفعل ذلك من خلال جعل مؤامرة زمنية من أخطاء التنبؤ، ورسم بياني لتوزيع أخطاء التنبؤ مع منحنى العادي مضاف. القطعة الزمنية من أخطاء التنبؤ يدل على أن أخطاء التنبؤ لديها تباين ثابت تقريبا على t إيم يوضح الرسم البياني لأخطاء التنبؤ أنه من المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر. وهكذا، يظهر اختبار يجونغ بوكس ​​أن هناك القليل من الأدلة على أوتوكوريلاتيونس في أخطاء التنبؤ، في حين أن مؤامرة الوقت و الرسم البياني لأخطاء التنبؤ تبين أنه من المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر لذلك، يمكن أن نستنتج أن هولت الأسي التمهيد يوفر نموذج تنبؤي كاف لأقطار تنحنح تنورة، والتي ربما لا يمكن تحسينها بالإضافة إلى ذلك ، فهذا يعني أن الافتراضات التي تستند إلى الفترات الزمنية 80 و 95 على أساس التوقعات هي على الأرجح صالحة. ولت الشتاء الشتاء الأسي. إذا كان لديك سلسلة زمنية يمكن وصفها باستخدام نموذج إضافي مع زيادة أو انخفاض الاتجاه والموسمية، يمكنك استخدام هولت الشتاء الشتاء التمدد الأسي لجعل التنبؤات على المدى القصير. هولت الشتاء الشتاء الأسي يقدر مستوى، المنحدر والمكون الموسمية في نقطة زمنية الحالية يتم التحكم في التلميع من قبل ثلاثة المعلمات ألفا، بيتا، وغاما، لتقديرات المستوى، المنحدر ب من عنصر الاتجاه، والمكون الموسمي، على التوالي، في نقطة زمنية الحالية المعلمات ألفا ، بيتا و غاما جميعا قيم بين 0 و 1، والقيم التي هي قريبة من 0 يعني أن الوزن نسبيا نسبيا يوضع على الملاحظات الأخيرة عند وضع توقعات القيم المستقبلية. على سبيل المثال سلسلة زمنية يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج المضافة مع الاتجاه والموسمية هو سلسلة زمنية من سجل المبيعات الشهرية لمتجر الهدايا التذكارية في منتجع منتجع في مدينة كوينزلاند، أستراليا نوقشت أعلاه. لجعل التنبؤات، يمكننا أن نلائم نموذج تنبئي باستخدام وظيفة هولتوينترس على سبيل المثال ، لتناسب نموذج تنبؤي لسجل المبيعات الشهرية في متجر للهدايا التذكارية، ونحن type. The القيم المقدرة من ألفا وبيتا وجاما هي 0 41، 0 00، و 0 96، على التوالي قيمة ألفا 0 41 منخفضة نسبيا، مما يشير إلى أن تقدير المستوى عند النقطة الزمنية الحالية يستند إلى الملاحظات الأخيرة وبعض الملاحظات في الماضي البعيد. تبلغ قيمة بيتا 0 00، مما يشير إلى أن تقدير المنحنى b للاتجاه لا يتم تحديث المكون على سلسلة زمنية، وبدلا من ذلك يتم تعيين مساوية لقيمته الأولية وهذا يجعل الحس السليم بديهية، حيث يتغير مستوى قليلا قليلا على سلسلة زمنية، ولكن المنحدر ب من عنصر الاتجاه لا يزال تقريبا نفس في المقابل ، فإن قيمة غاما 0 96 مرتفعة، مما يشير إلى أن تقدير العنصر الموسمي في نقطة الوقت الحالية يعتمد فقط على ملاحظات حديثة جدا. أما بالنسبة للتجانس الأسي البسيط و هولت s الأسي التمهيد، يمكننا رسم سلسلة زمنية الأصلي كما خط أسود، مع القيم المتوقعة كخط أحمر على رأس ذلك. ونرى من مؤامرة أن طريقة الأسية هولت الشتاء هي ناجحة جدا في التنبؤ قمم الموسمية، والتي تحدث تقريبا في نوفيمب إيه كل عام. لجعل التنبؤات في الأوقات المستقبلية غير المدرجة في سلسلة زمنية الأصلي، ونحن نستخدم وظيفة في حزمة التوقعات على سبيل المثال، البيانات الأصلية لمبيعات التذكارات هو من يناير 1987 إلى ديسمبر 1993 إذا أردنا أن نجعل التنبؤات ل يناير 1994 إلى ديسمبر 1998 48 أشهر أخرى، ورسم التوقعات، ونحن سوف type. The تظهر كخط أزرق، وتبين المناطق المظللة البرتقالي والأصفر 80 و 95 فترات التنبؤ، على التوالي. يمكننا التحقيق في ما إذا كان النموذج التنبؤي يمكن أن تتحسن عن طريق التحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ داخل العينة تظهر أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في التأخر 1-20، عن طريق إجراء الرسم البياني وإجراء اختبار يجونغ بوكس. ويظهر الرسم البياني الارتباطات أوتوكوريلاتيونس لأخطاء في عينة التنبؤ لا تتجاوز حدود الأهمية للتخلف 1-20 وعلاوة على ذلك، فإن قيمة p للاختبار يجونغ بوكس ​​هو 0 6، مشيرا إلى أن هناك القليل من الأدلة على أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في التأخر 1-20.We يمكن أن تحقق ما إذا كان فوريكا (ست) مع تباين ثابت مع مرور الوقت، وتوزع عادة مع متوسط ​​الصفر، من خلال رسم مخطط زمني لأخطاء التنبؤات ورسم بياني مع منحنى عادي مضاف إليه. ومن المؤامرة الزمنية، يبدو من المعقول أن يكون لأخطاء التنبؤ تباين ثابت مع مرور الوقت ومن الرسم البياني لأخطاء التنبؤ، يبدو من المعقول أن تكون أخطاء التنبؤ موزعة عادة بمتوسط ​​صفر. وبالتالي، لا يوجد دليل ضئيل على الترابط الذاتي عند الفترات الزمنية 1-20 لأخطاء التنبؤ، ويبدو أن أخطاء التنبؤ توزع عادة بالمتوسط zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to ob tain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance o f the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the a cf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environ ment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autoco rrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since t he autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - m u Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, th an an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of th e 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evi dence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. E xample of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Tha nk you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.